Anàlisi estadística i matricial: càlculs de paràmetres i determinants

Considera les matrius $$A=\left(\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 2 & m \end{array}\right)\ \text{ i } B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -2 & m & 0 \\ 3 & 2 & m \end{array}\right)$$ a) Troba el valor, o els valors, de $m$ per als quals $A$ i $B$ tenen el mateix rang. b) Determina, si n’hi ha, els valors de $m$ per als quals $A$ i $B$ tenen el mateix determinant.

Anàlisi de matrius i els seus rangs i determinants

Considerem les matrius:

1. Valors de \( m \) per als quals \( A \) i \( B \) tenen el mateix rang
   Determinant de \( A \):
   
   
   • Si \( m = -4 \), \( |A| = 0 \), per tant, \( \text{rang}(A) = 1 \).
   • Si \( m \neq -4 \), \( |A| \neq 0 \), per tant, \( \text{rang}(A) = 2 \).
   Determinant de \( B \):
   
   
   • Si \( m \neq 0 \) i \( m \neq -4 \), \( |B| \neq 0 \), per tant, \( \text{rang}(B) = 3 \).
   • Si \( m = 0 \), comprovem la submatriu:
     
     Per tant, \( \text{rang}(B) = 2 \).
   • Si \( m = -4 \), comprovem la submatriu:
     
     Per tant, \( \text{rang}(B) = 2 \).
   Els rangs coincideixen quan \( \text{rang}(A) = \text{rang}(B) = 2 \), és a dir, quan \( m = 0 \).
   Resposta: \( m = 0 \).
2. Valors de \( m \) per als quals \( A \) i \( B \) tenen el mateix determinant
   
   Igualem els determinants:
   
   Resolem:
   
   Resposta: \( m = -1 \) i \( m = -4 \).