Anàlisi estadística del salari net mensual dels treballadors d’una empresa

Una empresa analitza el salari net que cobren mensualment els seus treballadors.
La taula següent recull informació sobre la variable salari net mensual:

Salari net mensual (€)	Nombre de treballadors
(800 – 1.000]	5
(1.000 – 1.200]	10
(1.200 – 1.400]	15
(1.400 – 1.600]	10

Es demana:

a) Calculeu la mitjana aritmètica, la variància i la desviació estàndard de la variable salari net mensual.
b) Quin valor pren el coeficient de variació de la variable salari net mensual?
c) Calculeu la moda de la variable salari net mensual.

---

Solució

Dades inicials

Interval (€)	$n_i$	Punt mig $x_i$
(800 – 1.000]	5	900
(1.000 – 1.200]	10	1.100
(1.200 – 1.400]	15	1.300
(1.400 – 1.600]	10	1.500

Total de treballadors:
$$N = 5 + 10 + 15 + 10 = 40$$

---

a) Mitjana, variància i desviació estàndard

1. Mitjana aritmètica

$$\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N} = \frac{5(900) + 10(1100) + 15(1300) + 10(1500)}{40}$$

$$\bar{x} = \frac{50000}{40} = 1250$$

➡️ Mitjana = 1.250 €

---

2. Variància

$$s^2 = \frac{\sum n_i (x_i – \bar{x})^2}{N}$$

$x_i$	$x_i – \bar{x}$	$(x_i – \bar{x})^2$	$n_i (x_i – \bar{x})^2$
900	-350	122.500	612.500
1.100	-150	22.500	225.000
1.300	50	2.500	37.500
1.500	250	62.500	625.000

$$\sum n_i (x_i – \bar{x})^2 = 1.500.000$$

$$s^2 = \frac{1.500.000}{40} = 37.500$$

➡️ Variància = 37.500 €²

---

3. Desviació estàndard

$$s = \sqrt{37.500} = 193,65$$

➡️ Desviació estàndard = 193,65 €

---

b) Coeficient de variació

$$CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100 = \frac{193,65}{1250} \times 100 = 15,49%$$

➡️ Coeficient de variació = 15,5 %

Interpretació:
Com que el CV < 30 %, la dispersió dels salaris és baixa; els sous són bastant homogenis.

---

c) Moda

Per dades agrupades:

$$Mo = L_m + \left( \frac{f_m – f_{m-1}}{(f_m – f_{m-1}) + (f_m – f_{m+1})} \right) \cdot a$$

On:

• $L_m = 1.200$ (límit inferior de la classe modal)
• $a = 200$ (amplada dels intervals)
• $f_m = 15$
• $f_{m-1} = 10$, $f_{m+1} = 10$

$$Mo = 1.200 + \frac{5}{10} \cdot 200 = 1.300$$

➡️ Moda = 1.300 €

---

✅ Resultats finals

Magnitud	Valor	Unitat
Mitjana	1.250	€
Variància	37.500	€²
Desviació estàndard	193,65	€
Coeficient de variació	15,5 %	—
Moda	1.300	€

---