Anàlisi estadística del nombre de trucades diàries rebudes per un servei d’atenció

La taula següent mostra la informació recollida per un servei d’atenció telefònica sobre el nombre de trucades diàries que ha rebut en els darrers trenta dies:

Nombre de trucades (Li–1, Li]	Dies (nᵢ)
(0 – 20]	4
(20 – 40]	16
(40 – 60]	7
(60 – 80]	3

Es demana:

a) Calculeu la mitjana aritmètica, la variància i la desviació estàndard de la variable nombre de trucades. (Arrodoniu els resultats a dos decimals.)
b) Quin percentatge de dies s’han rebut més de 40 trucades?
c) Calculeu la moda de la variable nombre de trucades.

---

Solució

Dades inicials

Interval	( n_i )	Punt mig ( x_i )
(0 – 20]	4	10
(20 – 40]	16	30
(40 – 60]	7	50
(60 – 80]	3	70

Total:
$$N = 4 + 16 + 7 + 3 = 30$$

---

a) Mitjana, variància i desviació estàndard

1. Mitjana aritmètica

$$\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$$

$$\bar{x} = \frac{4(10) + 16(30) + 7(50) + 3(70)}{30}$$

$$\bar{x} = \frac{40 + 480 + 350 + 210}{30} = \frac{1080}{30} = 36$$

➡️ Mitjana = 36 trucades

---

2. Variància

$$s^2 = \frac{\sum n_i (x_i – \bar{x})^2}{N}$$

$x_i$	$x_i – \bar{x}$	$(x_i – \bar{x})^2$	$n_i (x_i – \bar{x})^2$
10	-26	676	4 × 676 = 2704
30	-6	36	16 × 36 = 576
50	14	196	7 × 196 = 1372
70	34	1156	3 × 1156 = 3468

$$\sum n_i (x_i – \bar{x})^2 = 2704 + 576 + 1372 + 3468 = 8120$$

✅ $\sum = 8120$

$$s^2 = \frac{8120}{30} = 270.67$$

➡️ Variància = 270.67

---

3. Desviació estàndard

$$s = \sqrt{270.67} = 16.46$$

➡️ Desviació estàndard = 16.46 trucades

---

b) Percentatge de dies amb més de 40 trucades

Dies amb més de 40 trucades = (40–60] + (60–80] = (7 + 3 = 10)

$$\text{Percentatge} = \frac{10}{30} \times 100 = 33.33%$$

➡️ El 33,33 % dels dies s’han rebut més de 40 trucades.

---

c) Moda

Classe modal: la de freqüència més gran, és a dir, (20–40], amb $f_m = 16$.

Paràmetres:

• $L_m = 20$
• $f_{m-1} = 4$
• $f_m = 16$
• $f_{m+1} = 7$
• $a = 20$

$$Mo = L_m + \left( \frac{f_m – f_{m-1}}{(f_m – f_{m-1}) + (f_m – f_{m+1})} \right) \cdot a$$

$$Mo = 20 + \left( \frac{16 – 4}{(16 – 4) + (16 – 7)} \right) \cdot 20$$

$$Mo = 20 + \frac{12}{21} \cdot 20 = 20 + 11.43 = 31.43$$

➡️ Moda = 31,43 trucades

---

✅ Resultats finals

Magnitud	Valor	Unitat
Mitjana	36,00	trucades
Variància	270,67	(trucades)$^2$
Desviació estàndard	16,46	trucades
Percentatge (>40 trucades)	33,33 %	—
Moda	31,43	trucades