Anàlisi d’una font de voltatge sinusoidal

Una font de voltatge sinusoidal té una amplitud $V_m = 200 \, \text{V}$ i una freqüència $f = 500 \, \text{Hz}$. El voltatge pren el valor $v(t) = 100 \, \text{V}$ en $t = 0$.
a) Determinar la dependència del voltatge en funció del temps, és a dir, l’expressió $v(t)$.
b) Dibuixar el fasor de tensió corresponent, utilitzant el valor eficaç del voltatge per al mòdul.

a) Dependència del voltatge en funció del temps

L’expressió general del voltatge senoidal és:
$$v(t) = V_m \sin(\omega t + \phi)$$
on:

• $V_m = 200 \, \text{V}$ (amplitud),
• $\omega = 2\pi f$ és la freqüència angular,
• $\phi$ és la fase inicial,
• $f = 500 \, \text{Hz}$.

1. Càlcul de la freqüència angular ($\omega$):
   $$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 500 = 1000\pi \, \text{rad/s}$$
2. Determinació de la fase inicial ($\phi$):
   Sabem que en $t = 0$, $v(0) = 100 \, \text{V}$. Substituint en l’equació:
   $$v(0) = 200 \sin(\phi) = 100$$
   $$\sin(\phi) = \frac{100}{200} = 0.5$$
   Els valors de $\phi$ que satisfan $\sin(\phi) = 0.5$ són:
   $$\phi = \frac{\pi}{6} \, \text{(30°)} \quad \text{o} \quad \phi = \frac{5\pi}{6} \, \text{(150°)}$$
   Com que no s’especifica si el voltatge està creixent o decreixent en $t = 0$, assumim la solució més comuna ($\phi = \frac{\pi}{6}$) per simplicitat. Si fos necessària l’altra solució, s’hauria d’indicar explícitament.
3. Expressió del voltatge:
   Amb $\phi = \frac{\pi}{6}$, l’expressió del voltatge és:
   $$v(t) = 200 \sin(1000\pi t + \frac{\pi}{6}) \, \text{V}$$

Resposta part a:
La dependència del voltatge és:
$$v(t) = 200 \sin(1000\pi t + \frac{\pi}{6}) \, \text{V}$$

b) Fasor de tensió amb el valor eficaç

1. Càlcul del valor eficaç ($V_{\text{ef}}$):
   El valor eficaç d’una senyal senoidal es calcula com:
   $$V_{\text{ef}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} \approx 141.42 \, \text{V}$$
2. Fasor de tensió:
   El fasor es representa en el pla complex com un vector amb mòdul igual al valor eficaç ($V_{\text{ef}} = 141.42 \, \text{V}$) i un angle igual a la fase inicial ($\phi = \frac{\pi}{6} \, \text{rad} = 30^\circ$).

En forma polar, el fasor és:
$$\vec{V} = 141.42 \angle 30^\circ \, \text{V}$$
En forma rectangular:
$$\vec{V} = V_{\text{ef}} (\cos\phi + j \sin\phi) = 141.42 \left( \cos 30^\circ + j \sin 30^\circ \right)$$
$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866, \quad \sin 30^\circ = 0.5$$
$$\vec{V} \approx 141.42 (0.866 + j 0.5) \approx 122.47 + j 70.71 \, \text{V}$$

Resposta part b:
El fasor de tensió és:
$$\vec{V} = 141.42 \angle 30^\circ \, \text{V} \quad \text{o} \quad \vec{V} \approx 122.47 + j 70.71 \, \text{V}$$
El fasor es dibuixa com un vector de mòdul $141.42 \, \text{V}$ amb un angle de $30^\circ$ respecte a l’eix real.

Resum final:
a) Dependència del voltatge: $v(t) = 200 \sin(1000\pi t + \frac{\pi}{6}) \, \text{V}$
b) Fasor: $\vec{V} = 141.42 \angle 30^\circ \, \text{V}$, representat com un vector de mòdul $141.42 \, \text{V}$ a $30^\circ$.