Anàlisi d’un circuit RLC en paral·lel amb tensió alterna

Una bobina amb resistència \( R = 2 \, \Omega \) i coeficient d’autoinducció \( L = 0.1 \, \text{H} \) es connecta en paral·lel amb un condensador de capacitat \( C = 120 \, \mu\text{F} = 120 \cdot 10^{-6} \, \text{F} \) a una tensió alterna senoidal de \( V_{\text{ef}} = 220 \, \text{V} \) i freqüència \( f = 50 \, \text{Hz} \). Calcular: a) Intensitat de corrent que circula per la bobina. b) Intensitat de corrent que circula per el condensador. c) Intensitat de corrent total. d) Impedància total. e) Angle de desfase entre la tensió i la intensitat total. f) Potències activa, reactiva i aparent totals.

Dades inicials:

• \( R = 2 \, \Omega \)

• \( L = 0.1 \, \text{H} \)

• \( C = 120 \cdot 10^{-6} \, \text{F} \)

• \( V_{\text{ef}} = 220 \, \text{V} \) (valor eficaç)- \( f = 50 \, \text{Hz} \)- Freqüència angular: \( \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 = 100\pi \approx 314.16 \, \text{rad/s} \)

a) Intensitat de corrent que circula per la bobina. La impedància de la bobina (\( Z_L \)) té una component resistiva (\( R \)) i una reactiva inductiva (\( X_L \)):\[X_L = \omega L = 314.16 \cdot 0.1 = 31.416 \, \Omega\]La impedància de la bobina és:\[Z_L = R + j X_L = 2 + j 31.416 \, \Omega\]Mòdul de la impedància:\[|Z_L| = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{2^2 + 31.416^2} = \sqrt{4 + 986.16} \approx \sqrt{990.16} \approx 31.47 \, \Omega\]La intensitat de corrent eficaç per la bobina és:\[I_L = \frac{V_{\text{ef}}}{|Z_L|} = \frac{220}{31.47} \approx 6.99 \, \text{A}\]Angle de desfase de la bobina:\[\phi_L = \arctan\left(\frac{X_L}{R}\right) = \arctan\left(\frac{31.416}{2}\right) = \arctan(15.708) \approx 86.35^\circ\]El corrent de la bobina és:\[\vec{I_L} = 6.99 \angle -86.35^\circ \, \text{A} \quad (\text{retardat respecte a la tensió})\]

Resposta part a: \[I_L \approx 6.99 \, \text{A}\]

b) Intensitat de corrent que circula per el condensador. La reactància capacitiva (\( X_C \)) és:\[X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314.16 \cdot 120 \cdot 10^{-6}} \approx \frac{1}{0.0377} \approx 26.53 \, \Omega\]La impedància del condensador és purament reactiva:\[Z_C = -j X_C = -j 26.53 \, \Omega\]La intensitat de corrent eficaç per el condensador és:\[I_C = \frac{V_{\text{ef}}}{X_C} = \frac{220}{26.53} \approx 8.29 \, \text{A}\]El corrent del condensador avança \( 90^\circ \) respecte a la tensió:\[\vec{I_C} = 8.29 \angle 90^\circ \, \text{A}\]

Resposta part b: \[I_C \approx 8.29 \, \text{A}\]

c) Intensitat de corrent total. En un circuit en paral·lel, el corrent total es calcula sumant vectorialment els corrents de cada branca. Representem els corrents en forma rectangular:

• Bobina: \( \vec{I_L} = 6.99 \angle -86.35^\circ \) \[ \cos(-86.35^\circ) \approx 0.063, \quad \sin(-86.35^\circ) \approx -0.998 \] \[ \vec{I_L} \approx 6.99 (0.063 – j 0.998) \approx 0.44 – j 6.97 \, \text{A} \]

• Condensador: \( \vec{I_C} = 8.29 \angle 90^\circ \) \[ \cos 90^\circ = 0, \quad \sin 90^\circ = 1 \] \[ \vec{I_C} = 8.29 (0 + j 1) = 0 + j 8.29 \, \text{A} \]

Suma dels corrents:\[\vec{I_{\text{total}}} = \vec{I_L} + \vec{I_C} = (0.44 – j 6.97) + (0 + j 8.29) = 0.44 + j (8.29 – 6.97) = 0.44 + j 1.32 \, \text{A}\]Mòdul del corrent total:\[I_{\text{total}} = \sqrt{0.44^2 + 1.32^2} = \sqrt{0.1936 + 1.7424} \approx \sqrt{1.936} \approx 1.39 \, \text{A}\]

Resposta part c: \[I_{\text{total}} \approx 1.39 \, \text{A}\]

d) Impedància total. La impedància total en paral·lel es calcula com:\[\frac{1}{Z_{\text{total}}} = \frac{1}{Z_L} + \frac{1}{Z_C}\]- Impedància de la bobina: \( Z_L = 2 + j 31.416 \) \[ \frac{1}{Z_L} = \frac{1}{2 + j 31.416} \cdot \frac{2 – j 31.416}{2 – j 31.416} = \frac{2 – j 31.416}{4 + 986.16} \approx \frac{2 – j 31.416}{990.16} \approx 0.002 – j 0.0317 \]- Impedància del condensador: \( Z_C = -j 26.53 \) \[ \frac{1}{Z_C} = \frac{1}{-j 26.53} = \frac{j}{26.53} \approx j 0.0377 \]Suma de les admitàncies:\[\frac{1}{Z_{\text{total}}} = (0.002 – j 0.0317) + (0 + j 0.0377) = 0.002 + j (0.0377 – 0.0317) = 0.002 + j 0.006\]Mòdul i fase:\[\left| \frac{1}{Z_{\text{total}}} \right| = \sqrt{0.002^2 + 0.006^2} \approx \sqrt{0.00004 + 0.000036} \approx 0.00632\]\[Z_{\text{total}} = \frac{1}{0.00632} \approx 158.23 \, \Omega\]Alternativament, podem verificar amb la fórmula \( Z_{\text{total}} = \frac{V_{\text{ef}}}{I_{\text{total}}} \):\[Z_{\text{total}} = \frac{220}{1.39} \approx 158.27 \, \Omega\](Aproximem a \( 158.2 \, \Omega \) per consistència.)

Resposta part d: \[Z_{\text{total}} \approx 158.2 \, \Omega\]

e) Angle de desfase entre la tensió i la intensitat total. L’angle de desfase del corrent total es calcula com:\[\phi = \arctan\left(\frac{\text{Im}(\vec{I_{\text{total}}})}{\text{Re}(\vec{I_{\text{total}}})}\right) = \arctan\left(\frac{1.32}{0.44}\right) = \arctan(3) \approx 71.57^\circ\]Com que la part imaginària és positiva, el corrent avança respecte a la tensió.

Resposta part e: \[\phi \approx 71.57^\circ \, \text{(avançat)}\]

f) Potències activa, reactiva i aparent totals

• Potència aparent (\( S \)): \[S = V_{\text{ef}} \cdot I_{\text{total}} = 220 \cdot 1.39 \approx 305.8 \, \text{VA}\]

• Potència activa (\( P \)): \[P = S \cos\phi = V_{\text{ef}} \cdot I_{\text{total}} \cdot \cos\phi\]\[\cos 71.57^\circ \approx 0.316\]\[P = 220 \cdot 1.39 \cdot 0.316 \approx 96.6 \, \text{W}\]

• Potència reactiva (\( Q \)): \[Q = S \sin\phi = V_{\text{ef}} \cdot I_{\text{total}} \cdot \sin\phi\]\[\sin 71.57^\circ \approx 0.949\]\[Q = 220 \cdot 1.39 \cdot 0.949 \approx 290.3 \, \text{var}\]

Resposta part f:

• Potència activa: \( P \approx 96.6 \, \text{W} \)

• Potència reactiva: \( Q \approx 290.3 \, \text{var} \)

• Potència aparent: \( S \approx 305.8 \, \text{VA} \)

Resum final:

a) Corrent per la bobina: \( I_L \approx 6.99 \, \text{A} \)

b) Corrent pel condensador: \( I_C \approx 8.29 \, \text{A} \)

c) Corrent total: \( I_{\text{total}} \approx 1.39 \, \text{A} \)

d) Impedància total: \( Z_{\text{total}} \approx 158.2 \, \Omega \)

e) Angle de desfase: \( \phi \approx 71.57^\circ \) (avançat)

f) Potències:

• Activa: \( 96.6 \, \text{W} \)

• Reactiva: \( 290.3 \, \text{var} \)

• Aparent: \( 305.8 \, \text{VA} \)