Anàlisi Dinàmica d’un Sistema de Tres Partícules amb Força Conservativa

Un sistema format per tres partícules de masses \( m_1 = m \), \( m_2 = 2m \) i \( m_3 = 3m \) està sotmès a l’acció d’una única força externa conservativa \( \mathbf{F} \). La quantitat de moviment total del sistema respecte a \( \mathrm{O} \) (origen d’un sistema de referència inercial) en funció del temps ve donada per \( \mathbf{p} = 3t^3 \mathbf{i} – 6t \mathbf{j} \) en \( \mathrm{kg \cdot m/s} \). Dades: \( m = 0,5 \, \mathrm{kg} \).

a) Es conserva l’energia total del sistema? Expressar la velocitat i el vector posició del centre de masses del sistema en funció del temps, suposant que la posició inicial del centre de masses és \( \mathbf{r}_0 = -\mathbf{i} + 3 \mathbf{j} \, (\mathrm{m}) \).

• Sí es conserva, ja que \( \overrightarrow{\mathrm{F}} \) és conservativa: \( \Delta E_T = 0 \).

• La quantitat de moviment total del sistema és:

\[\begin{aligned}\vec{p} &= M \vec{v}_{CM}, \quad M = m_1 + m_2 + m_3 = 6m = 3 \, \mathrm{kg} \\\vec{v}_{CM} &= \frac{\vec{p}}{M} = \frac{3t^3 \vec{i} – 6t \vec{j}}{3} = t^3 \vec{i} – 2t \vec{j} \quad (\mathrm{m/s}) \\\vec{r}_{CM} &= \int \vec{v}_{CM} \, dt = \int \left( t^3 \vec{i} – 2t \vec{j} \right) dt = \frac{t^4}{4} \vec{i} – t^2 \vec{j} + \text{cte}\end{aligned}\]Substituint en \( t = 0 \), \( \vec{r}_{CM} = \vec{r}_0 \Rightarrow \text{cte} = -\vec{i} + 3 \vec{j} \), per tant:\[\vec{r}_{CM} = -\vec{i} + 3 \vec{j} + \frac{t^4}{4} \vec{i} – t^2 \vec{j} = \left( \frac{t^4}{4} – 1 \right) \vec{i} + \left( t^2 + 3 \right) \vec{j}\]

b) Determinar la força externa \( \mathbf{F} \) i l’acceleració del centre de masses del sistema en funció del temps.

\[\begin{aligned}\vec{F}_{\text{ext}} &= \frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( 3t^3 \vec{i} – 6t \vec{j} \right) = 9t^2 \vec{i} – 6 \vec{j} \\\vec{a}_{CM} &= \frac{\vec{F}_{\text{ext}}}{M} = \frac{9t^2 \vec{i} – 6 \vec{j}}{3} = 3t^2 \vec{i} – 2 \vec{j} \quad (\mathrm{m/s^2})\end{aligned}\]

c) Si l’energia cinètica total del sistema mesurada en \( t = 2 \, \mathrm{s} \) respecte a \( \mathrm{O} \) val \( 200 \, \mathrm{J} \), calcular l’energia cinètica orbital i l’energia cinètica interna del sistema en aquest mateix instant.

\[E_c = E_{c_{\text{ext}}} + E_{c_{\text{orb}}}, \quad \text{en } t = 2 \, \mathrm{s}, \quad E_c = 200 \, \mathrm{J}\]Substituint \( t = 2 \, \mathrm{s} \) en l’expressió de \( \vec{v}_{CM} \):\[\begin{aligned}\vec{v}_{CM} &= 8 \vec{i} – 4 \vec{j}, \quad v_{CM}^2 = 8^2 + 4^2 = 80 \\E_{c_{\text{orb}}} &= \frac{1}{2} M v_{CM}^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 80 = 120 \, \mathrm{J} \\E_{c_{\text{ext}}} &= E_c – E_{c_{\text{orb}}} = 200 – 120 = 80 \, \mathrm{J}\end{aligned}\]