Anàlisi del Nombre de Visitants al Museu amb Derivades

El nombre de visitants a un museu s’obté mitjançant la funció $$V(t) = \frac{300t}{t^3+2}$$ on $t$ és l’hora des de l’obertura del museu. Suposem que l’hora d’obertura del museu són les $9:00$ hores del matí.

1. Quan creix i decreix el nombre de visitants del museu?
2. Quan rep el museu el nombre més gran de visitants? Quin és aquest nombre?
3. En quin valor de $t$ es produeix un punt d’inflexió de $V(t)$?

Solució

a) Derivant la funció \( V(t) \) obtenim

\[ V'(t) = \frac{600 – 600t^3}{t^6 + 4t^4 + 4} = \frac{600 – 600t^3}{(t^3 + 2)^2}. \]

S’observa que \( V'(t) = 0 \) si, i només si, \( t = 1 \). Per tant:

\( t \)	0	1	$\infty$
\( V'(t) \)	+	–
\( V(t) \)	↗	↘

A l’interval \( (0, 1) \) creix el nombre de visitants i a l’interval \( (1, \infty) \) decreix el nombre de visitants. És a dir, durant la primera hora creix el nombre de visitants del museu i aquest nombre decreix la resta d’hores d’obertura.

b) El nombre més gran de visitants el rep quan fa una hora que l’han obert i aquest nombre és

\[ V(1) = \frac{300}{1 – 2} = 100. \]

100 visitants és el nombre màxim.

c) Tenim que

\[ V”(t) = \frac{1800t^5 – 7200t^2}{t^9 + 6t^6 + 12t^3 + 8}. \]

\( V”(t) = 0 \) si, i només si, \( 1800t^5 – 7200t^2 = 0 \) si, i només si, \( t^2 (1800t^3 – 7200) = 0 \) si, i només si, \( t = 0 \), \( t = \sqrt{4} \approx 1.5874 \).

Per tant, \( V'(t) \) té un punt d’inflexió quan \( t = \sqrt{4} \approx 1.5874 \).