Anàlisi del Moviment d’una Varilla Homogènia després de Retirar un Suport

Una varilla homogènia, de massa $m$ i longitud $a$, està recolzada en els seus dos extrems. Si es retira sobtadament un dels suports, determinar l’acceleració lineal del seu centre de gravetat.

---

Descripció del sistema

• La varilla és homogènia, amb massa $m$ i longitud $a$, inicialment en equilibri horitzontal recolzada en dos extrems (A i B).
• El centre de gravetat (CG) està al punt mitjà, a $a/2$ de cada extrem.
• Quan es retira un suport (suposem B), la varilla pivota al voltant de l’altre suport (A) sota l’acció del pes, i el centre de gravetat comença a moure’s.

Pas 1: Forces i condicions inicials

• Pes de la varilla: $mg$, actua cap avall al centre de gravetat.
• Reacció del suport A: $N_A$, cap amunt, i possible reacció horitzontal $F_A$, però com que no hi ha forces horitzontals inicials, $F_A = 0$.
• Quan es retira el suport B, només actua $N_A$ en A i el pes $mg$.

La varilla pivota al voltant de A, i el centre de gravetat (CG) experimenta una acceleració lineal $a_{\text{CG}}$ i una acceleració angular $\alpha$.

Pas 2: Dinàmica rotacional

El moment d’inèrcia de la varilla respecte al punt A (extrem) és:

$$I_A = \frac{1}{3} m a^2 \quad (\text{per a una varilla homogènia girant al voltant d’un extrem}).$$

El pes genera una parella respecte a A. La distància perpendicular del centre de gravetat (a $a/2$) a l’eix de rotació (A) és $a/2$ quan la varilla és horitzontal (just després de retirar el suport):

$$\tau = mg \cdot \frac{a}{2}.$$

La segona llei de rotació és:

$$\tau = I_A \alpha,$$

$$mg \frac{a}{2} = \frac{1}{3} m a^2 \alpha,$$

$$\alpha = \frac{mg \frac{a}{2}}{\frac{1}{3} m a^2} = \frac{3 g}{2 a}. \quad (1)$$

Pas 3: Acceleració lineal del centre de gravetat

El centre de gravetat (a $a/2$ de A) es mou en un camí circular al voltant de A amb radi $r = a/2$. L’acceleració lineal del CG està relacionada amb l’acceleració angular $\alpha$:

$$a_{\text{CG}} = \alpha \cdot r = \alpha \cdot \frac{a}{2}.$$

Substituïm $\alpha$ de l’equació (1):

$$a_{\text{CG}} = \frac{3 g}{2 a} \cdot \frac{a}{2} = \frac{3 g}{4}.$$

Aquesta acceleració és tangent a la trajectòria circular del CG, cap avall i lleugerament cap al costat, però el mòdul és el que ens interessa.

Pas 4: Verificació amb dinàmica lineal

Considerem també la dinàmica lineal per confirmar:

• Forces en $y$:
  $$mg – N_A = m a_{\text{CG, y}},$$
  on $a_{\text{CG, y}}$ és la component vertical de l’acceleració del CG.
• La velocitat angular i l’acceleració del CG es relacionen amb $\alpha$. L’acceleració total del CG té components tangencials i centrípetes, però just després de retirar el suport, la velocitat inicial és zero, així que només hi ha acceleració tangential.

Ja hem calculat $a_{\text{CG}} = \frac{3 g}{4}$, que és consistent amb l’anàlisi rotacional.

Resposta Final

L’acceleració lineal del centre de gravetat just després de retirar el suport és:

$$a_{\text{CG}} = \frac{3 g}{4}.$$

---

Resum Final

L’acceleració lineal del centre de gravetat és $a_{\text{CG}} = \frac{3 g}{4}$, dirigida tangent a la trajectòria circular del centre de gravetat al voltant del suport A.