Anàlisi del Moviment d’un Disc sota un Moment Exterior i Resistència de l’Aire

Un disc circular uniforme, de massa $m$ i radi $r$, gira al voltant d’un eix fix que passa pel centre del disc i és perpendicular al seu pla, sota l’acció d’una força exterior que exerceix un moment $M$ sobre l’eix. El disc es troba inicialment en repòs. Dada que la resistència de l’aire origina un moment retardador $m k \omega$, quan la velocitat angular és $\omega$, on $k$ és una constant,
a) Determinar la velocitat angular del disc després d’un temps $t$.
b) Demostrar que tendeix a un valor límit $M / m k$.

---

Dades

• Massa del disc: $m$.
• Radi del disc: $r$ (no es fa servir directament, ja que l’eix passa pel centre).
• Moment exterior: $M$.
• Moment retardador: $m k \omega$, on $k$ és una constant.
• Condició inicial: $\omega(0) = 0$.

Pas 1: Equació de moviment

El moment net que actua sobre el disc determina l’acceleració angular segons la segona llei de rotació:

$$\tau_{\text{net}} = I \alpha,$$

on $I$ és el moment d’inèrcia del disc respecte a l’eix central perpendicular al pla, i $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ és l’acceleració angular.

• Moment d’inèrcia del disc: $I = \frac{1}{2} m r^2$ (per a un disc uniforme).
• Moment net: El moment exterior $M$ accelera el disc, mentre que el moment retardador $m k \omega$ el frena.

$$\tau_{\text{net}} = M – m k \omega,$$

$$I \frac{d\omega}{dt} = M – m k \omega,$$

Substituïm $I = \frac{1}{2} m r^2$:

$$\frac{1}{2} m r^2 \frac{d\omega}{dt} = M – m k \omega.$$

Dividim per $\frac{1}{2} m r^2$:

$$\frac{d\omega}{dt} = \frac{2 M}{m r^2} – \frac{2 k \omega}{r^2}. \quad (1)$$

Aquesta és una equació diferencial de primer ordre lineal.

(a) Velocitat angular després d’un temps $t$

Reescrivim l’equació com:

$$\frac{d\omega}{dt} + \frac{2 k \omega}{r^2} = \frac{2 M}{m r^2}.$$

Aquesta és una equació de la forma $\frac{d\omega}{dt} + P \omega = Q$, on:

• $P = \frac{2 k}{r^2}$,
• $Q = \frac{2 M}{m r^2}$.

El factor integrador és:

$$e^{\int P \, dt} = e^{\int \frac{2 k}{r^2} \, dt} = e^{\frac{2 k t}{r^2}}.$$

Multipliquem tota l’equació per aquest factor:

$$e^{\frac{2 k t}{r^2}} \frac{d\omega}{dt} + e^{\frac{2 k t}{r^2}} \cdot \frac{2 k \omega}{r^2} = e^{\frac{2 k t}{r^2}} \cdot \frac{2 M}{m r^2},$$

La part esquerra és la derivada del producte:

$$\frac{d}{dt} \left( \omega e^{\frac{2 k t}{r^2}} \right) = \frac{2 M}{m r^2} e^{\frac{2 k t}{r^2}}.$$

Integram amb respecte a $t$:

$$\omega e^{\frac{2 k t}{r^2}} = \int \frac{2 M}{m r^2} e^{\frac{2 k t}{r^2}} \, dt + C,$$

La integral és:

$$\int e^{\frac{2 k t}{r^2}} \, dt = \frac{r^2}{2 k} e^{\frac{2 k t}{r^2}},$$

$$\omega e^{\frac{2 k t}{r^2}} = \frac{2 M}{m r^2} \cdot \frac{r^2}{2 k} e^{\frac{2 k t}{r^2}} + C = \frac{M}{m k} e^{\frac{2 k t}{r^2}} + C.$$

Amb la condició inicial $\omega(0) = 0$:

$$0 = \frac{M}{m k} + C \implies C = -\frac{M}{m k},$$

$$\omega e^{\frac{2 k t}{r^2}} = \frac{M}{m k} e^{\frac{2 k t}{r^2}} – \frac{M}{m k},$$

$$\omega = \frac{M}{m k} \left( 1 – e^{-\frac{2 k t}{r^2}} \right).$$

Resposta (a):
La velocitat angular del disc després d’un temps $t$ és:

$$\omega(t) = \frac{M}{m k} \left( 1 – e^{-\frac{2 k t}{r^2}} \right).$$

(b) Demostració del valor límit $M / m k$

Per trobar el valor límit quan $t \to \infty$:

$$\lim_{t \to \infty} \omega(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{M}{m k} \left( 1 – e^{-\frac{2 k t}{r^2}} \right).$$

Com que $\frac{2 k t}{r^2} \to \infty$ quan $t \to \infty$, el terme exponencial $e^{-\frac{2 k t}{r^2}} \to 0$:

$$\lim_{t \to \infty} \omega(t) = \frac{M}{m k} (1 – 0) = \frac{M}{m k}.$$

Aquest valor límit es pot entendre físicament: quan $t$ és molt gran, l’acceleració angular $\frac{d\omega}{dt}$ es fa negligible perquè el moment retardador $m k \omega$ s’equilibra amb el moment exterior $M$, donant una velocitat angular constant:

$$M – m k \omega_{\text{límit}} = 0,$$

$$\omega_{\text{límit}} = \frac{M}{m k}.$$

Resposta (b):
S’ha demostrat que la velocitat angular tendeix a un valor límit $\omega_{\text{límit}} = \frac{M}{m k}$ quan $t \to \infty$.

---

Resum Final

(a) Velocitat angular: $\omega(t) = \frac{M}{m k} \left( 1 – e^{-\frac{2 k t}{r^2}} \right)$.
(b) El límit és $\displaystyle\frac{M}{m k}$, demostrat per la igualtat del moment exterior amb el retardador en estat estacionari.