Anàlisi del Moviment d’un Cilindre i una Esfera en un Pla Inclinat

Un cilindre i una esfera homogènis es deixen anar a la mateixa cota d’un pla inclinat; primer el cilindre i un segon després l’esfera. No hi ha fregament ni lliscament.
(a) L’esfera alcançarà el cilindre?
(b) En cas afirmatiu, quant temps porta movent-se el cilindre quan l’esfera l’aconsegueix?

---

Com que no hi ha fregament ni lliscament, ambdós objectes (cilindre i esfera) roden sense lliscar pel pla inclinat, i la seva acceleració depèn del moment d’inèrcia.

---

Pas 1: Acceleració de cada objecte

La força gravitatòria al llarg del pla inclinat és $mg \sin\theta$, on $\theta$ és l’angle del pla inclinat. L’acceleració lineal d’un objecte que roda sense lliscar es calcula amb:

$$a = \frac{g \sin\theta}{1 + \frac{I}{m R^2}},$$

on $I$ és el moment d’inèrcia, $m$ la massa, i $R$ el radi.

• Cilindre: Moment d’inèrcia $I_{\text{cilindre}} = \frac{1}{2} m R^2$.
  $$\frac{I_{\text{cilindre}}}{m R^2} = \frac{1}{2},$$ $$a_{\text{cilindre}} = \frac{g \sin\theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin\theta}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} g \sin\theta.$$
• Esfera: Moment d’inèrcia $I_{\text{esfera}} = \frac{2}{5} m R^2$.
  $$\frac{I_{\text{esfera}}}{m R^2} = \frac{2}{5},$$ $$a_{\text{esfera}} = \frac{g \sin\theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin\theta}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7} g \sin\theta.$$

Comparem les acceleracions:
$$a_{\text{esfera}} = \frac{5}{7} g \sin\theta \approx 0.714 g \sin\theta, \quad a_{\text{cilindre}} = \frac{2}{3} g \sin\theta \approx 0.667 g \sin\theta.$$

L’esfera té una acceleració més gran perquè el seu moment d’inèrcia és menor ($\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$).

---

Pas 2: Posicions en funció del temps

• Cilindre: Comença en $t = 0$, amb $a_{\text{cilindre}} = \frac{2}{3} g \sin\theta$. La posició (des de repòs) és:

$$x_{\text{cilindre}}(t) = \frac{1}{2} a_{\text{cilindre}} t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} g \sin\theta \right) t^2 = \frac{1}{3} g \sin\theta t^2.$$

• Esfera: Comença en $t = 1 \, \text{s}$, amb $a_{\text{esfera}} = \frac{5}{7} g \sin\theta$. El temps efectiu de moviment de l’esfera és $t’ = t – 1$. La posició és:

$$x_{\text{esfera}}(t) = \frac{1}{2} a_{\text{esfera}} (t – 1)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{5}{7} g \sin\theta \right) (t – 1)^2 = \frac{5}{14} g \sin\theta (t – 1)^2.$$

---

Pas 3: L’esfera aconsegueix el cilindre?

Igualem les posicions per trobar quan es troben:

$$x_{\text{cilindre}} = x_{\text{esfera}}$$

$$\frac{1}{3} g \sin\theta t^2 = \frac{5}{14} g \sin\theta (t – 1)^2.$$

Cancel·lem $g \sin\theta$ (no és zero):

$$\frac{1}{3} t^2 = \frac{5}{14} (t – 1)^2.$$

Multipliquem per $3 \cdot 14 = 42$ per eliminar denominadors:

$$14 t^2 = 15 (t – 1)^2,$$

$$14 t^2 = 15 (t^2 – 2t + 1),$$

$$14 t^2 = 15 t^2 – 30 t + 15,$$

$$0 = 15 t^2 – 14 t^2 – 30 t + 15,$$

$$t^2 – 30 t + 15 = 0.$$

Resolem l’equació quadràtica:

$$t = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{30 \pm \sqrt{900 – 60}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{840}}{2},$$

$$\sqrt{840} \approx 28.98,$$

$$t = \frac{30 \pm 28.98}{2},$$

$$t_1 \approx \frac{30 + 28.98}{2} \approx 29.49 \, \text{s}, \quad t_2 \approx \frac{30 – 28.98}{2} \approx 0.51 \, \text{s}.$$

La solució $t \approx 0.51 \, \text{s}$ no és vàlida perquè l’esfera comença a moure’s en $t = 1 \, \text{s}$, per tant prenem $t \approx 29.49 \, \text{s}$.

Com que hi ha una solució positiva, l’esfera sí aconsegueix el cilindre.

---

Pas 4: Temps que porta movent-se el cilindre

El cilindre porta movent-se des de $t = 0$. Quan l’esfera l’aconsegueix, ha passat:

$$t \approx 29.49 \, \text{s}.$$

Aquest és el temps que el cilindre porta movent-se quan l’esfera l’aconsegueix.

---

Resum Final

(a) Sí, l’esfera aconsegueix el cilindre.
(b) El cilindre porta movent-se $t \approx 29.49 \, \text{s}$ quan l’esfera l’aconsegueix.