Anàlisi del Moviment de Caiguda amb Resistència de l’Aire: Una Aproximació amb Equacions Diferencials

Des d’una certa altura se ha deixat anar un cos de massa \( m \). Determinar la llei segons la qual canvia la velocitat de caiguda \( v \), si sobre el cos, a més de la força de la gravetat, actua la força de resistència de l’aire, proporcional a la velocitat \( v \) (el coeficient de proporcionalitat de la força de resistència és \( k \)), és a dir, cal trobar \( v = f(t) \).

En virtut de la segona llei de Newton \( m \frac{dv}{dt} = F \), on \( \frac{dv}{dt} \) és l’acceleració del cos en moviment (la derivada de la velocitat respecte al temps), i \( F \) és una força que actua sobre el cos en la direcció del moviment. Aquesta última és la resultant de dues forces: la de la gravetat, \( mg \), i la de resistència de l’aire, \( kv \) (se’n pren el signe contrari, ja que aquesta força va dirigida en direcció oposada a la velocitat). Així doncs,\[m \frac{dv}{dt} = mg – kv.\tag{1}\label{eq:caiguda}\]Hem obtingut una relació entre una funció desconeguda \( v \) i la seva derivada \( \frac{dv}{dt} \), és a dir, una equació diferencial respecte a la funció desconeguda \( v \) (l’equació del moviment de caigudes de certs tipus). Resoldre aquesta equació diferencial significa trobar una funció \( v = f(t) \) tal que satisfaci idènticament aquesta equació diferencial. Existeix una funció que satisfà\[v = C e^{-\frac{k}{m} t} + \frac{mg}{k}\]

Satisfà l’equació \eqref{eq:caiguda} qualsevol funció que sigui el número constant \( C \). Però, quina d’aquestes funcions donarà la dependència buscada entre \( v \) i \( t \)? Per trobar-la, hem d’usar una condició addicional: al deixar anar el cos, li donem una velocitat inicial \( v_0 \) (que, en particular, pot ser igual a zero); suposem doncs que, en el cas present, la funció buscada \( v = f(t) \) ha de ser tal que per a \( t = 0 \) (al principi del moviment) es compleixi la condició \( v = v_0 \). Posem \( t = 0 \), \( v = v_0 \) a la fórmula (2), obtenim:\[v_0 = C + \frac{mg}{k}, \quad \text{de manera que} \quad C = v_0 – \frac{mg}{k}.\]D’aquesta manera, la dependència buscada entre \( v \) i \( t \) és:\[v = \left( v_0 – \frac{mg}{k} \right) e^{-\frac{k}{m} t} + \frac{mg}{k}.\]D’aquesta fórmula es dedueix que si \( t \) és prou gran, la velocitat \( v \) depèn poc de \( v_0 \). Notem que si \( k = 0 \) (és a dir, la resistència de l’aire no existeix o és tan petita que podem despreciar-la), obtenim el resultat ben conegut en física:\[v = v_0 + gt.\]Aquesta funció satisfà l’equació diferencial (1) i la condició inicial: \( v = v_0 \) per a \( t = 0 \).