Anàlisi del Moment d’Inèrcia d’un Cos Humà amb Braços Oberts i Enganxats

Considereu el moment d’inèrcia d’un home adult mitjà respecte a l’eix vertical que passa pel centre del seu cos quan està dret, en dos casos: quan té els braços estesos perpendicularment i quan els té enganxats al cos. Estimeu el valor de la raó entre ambdós moments d’inèrcia.

Hem de fer algunes aproximacions sobre les característiques del cos humà. D’entrada, suposarem que el seu pes és de $M = 80 \, \text{kg}$, i que quan està dret amb els braços enganxats als costats, podem modelar-lo com un cilindre homogeni. Aproximadament, la cintura té una circumferència de radi $14$ cm, mentre que al pit el radi és més o menys de $17$ cm. Prendrem un valor mitjà, donat per la mitjana aritmètica d’aquests dos valors, que serà el radi del cilindre:

$$R = \frac{14 \, \text{cm} + 17 \, \text{cm}}{2} = 15.5 \, \text{cm}$$

A més, suposarem que el 20% de la massa corporal correspon als dos braços. Per tant, cada braç pesa $m = 8 \, \text{kg}$. També suposarem que cadascun dels braços mesura una longitud de $L = 1 \, \text{m}$.

El que ens demana el problema és el quocient dels moments d’inèrcia quan els braços estan oberts en creu i quan estan enganxats:

$$\frac{I_{\text{oberts}}}{I_{\text{pegats}}}$$

Quan els braços estan enganxats, el cos es comporta com un cilindre de radi $R$ i massa total del cos, $M$:

$$I_{\text{pegats}} = \frac{1}{2} M R^2$$

Quan els braços estan oberts en creu, cal separar les contribucions dels braços i de la resta del cos:

$$I_{\text{oberts}} = I_{\text{cos}} + 2I_{\text{braços}}$$

D’una banda, el moment d’inèrcia de la resta del cos és (utilitzant novament el model del cilindre):

$$I_{\text{cos}} = \frac{1}{2} (M – 2m) R^2$$

Per a un braç, considerarem que el moment d’inèrcia es pot aproximar com el d’una vareta que gira al voltant d’un eix perpendicular situat en una de les seves puntes (que, al seu torn, és l’eix que passa pel centre del cos):

$$I_{\text{braç}} = \frac{1}{3} m L^2$$

Combinant tots aquests resultats i substituint les quantitats numèriques, arribem a:

$$\frac{I_{\text{oberts}}}{I_{\text{pegats}}} = \frac{\frac{1}{2} (M – 2m) R^2 + 2 \cdot \frac{1}{3} m L^2}{\frac{1}{2} M R^2} = \frac{\frac{1}{2} (80 \, \text{kg} – 16 \, \text{kg})(15.5 \, \text{cm})^2 + 2 \cdot \frac{1}{3} (8 \, \text{kg})(100 \, \text{cm})^2}{\frac{1}{2} (80 \, \text{kg})(15.5 \, \text{cm})^2} \approx 6.35\approx 6$$

És a dir, obrir els braços en creu augmenta aproximadament el moment d’inèrcia d’una persona en un factor de $6$. Aquest efecte l’aprofiten els patinadors per augmentar la velocitat angular de gir quan tanquen els braços, i es pot comprovar fàcilment utilitzant un tamboret giratori i obrint i tancant els braços.