Anàlisi de Probabilitats per a Sol·licituds de Grues amb Distribució de Poisson

El nombre de sol·licituds d’ajuda rebudes per un servei de grues segueix una distribució de Poisson. A més, es reben 4 trucades per hora. a) Calculeu la probabilitat que exactament 10 sol·licituds siguin rebudes durant un període particular de 2 hores. b) Si els operadors del servei de grues fan una pausa de 30 minuts per sopar, quina és la probabilitat que no deixin d’atendre les trucades d’auxili?

La distribució de Poisson modela el nombre de sol·licituds rebudes en un interval de temps, amb una taxa mitjana de 4 trucades per hora ($\mu = 4$ per hora). La variable aleatòria $X$ representa el nombre de sol·licituds rebudes.

La fórmula de la probabilitat per a una distribució de Poisson és:
$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$$
on $\lambda$ és la mitjana de sol·licituds en l’interval de temps considerat.

a) Probabilitat que exactament $10$ sol·licituds siguin rebudes en $2$ hores

Per a un període de $2$ hores, la taxa mitjana de sol·licituds és:
$$\lambda = 4 \text{ trucades/hora} \cdot 2 \text{ hores} = 8$$
Aleshores, $X \sim Poisson(\lambda = 8)$, i volem calcular $P(X = 10)$.

Substituïm a la fórmula:
$$P(X = 10) = \frac{e^{-8} \cdot 8^{10}}{10!}$$

Calculem:

• $e^{-8} \approx 0,0003354626$
• $8^{10} = 1,073,741,824$
• $10! = 3,628,800$

Primer, calculem el numerador:
$$e^{-8} \cdot 8^{10} \approx 0,0003354626 \cdot 1,073,741,824 \approx 360,287,970$$

Ara, dividim pel factorial:
$$P(X = 10) = \frac{360,287,970}{3,628,800} \approx 0,0992715$$

Resposta: La probabilitat que exactament $10$ sol·licituds siguin rebudes en $2$ hores és aproximadament $0,0993$.

b) Probabilitat que no deixin d’atendre trucades durant una pausa de 30 minuts

Una pausa de $30$ minuts equival a $0,5$ hores. La taxa mitjana de sol·licituds en $30$ minuts és:
$$\lambda = 4 \text{ trucades/hora} \cdot 0,5 \text{ hores} = 2$$
Aleshores, $X \sim Poisson(\lambda = 2)$, on $X$ és el nombre de trucades rebudes durant la pausa.

Que els operadors “no deixin d’atendre les trucades” implica que no hi hagi cap trucada durant la pausa, és a dir, $X = 0$. Calculem $P(X = 0)$:

$$P(X = 0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2}$$

Sabem que:
$$e^{-2} \approx 0,1353353$$

Resposta: La probabilitat que no hi hagi trucades durant la pausa de $30$ minuts és aproximadament $0,1353$.

Resum de respostes:

a) Probabilitat de rebre exactament $10$ sol·licituds en $2$ hores: $0,0993$
b) Probabilitat de no rebre cap trucada durant $30$ minuts: $0,1353$