Anàlisi de Matrius i Sistemes d’Equacions

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 4 \end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}.$$ a) És cert que $A = B^{-1}$? És cert que $B = A^{-1}$? b) Calcula $x$ tal que $A x = v$. c) Amb el valor de $x$ de l’apartat anterior, calcula $y$ tal que $B^2 y = x$.

a) És cert que $A = B^{-1}$? És cert que $B = A^{-1}$?

Per comprovar-ho, les multipliquem:
$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -5 & -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I.$$

Per tant, $B \cdot A = I$, podem dir que ambdues igualtats són certes: $A = B^{-1}$, per tant, $B = A^{-1}$.

b) Calcula $x$ tal que $A x = v$.

Ens demanen calcular el vector ( x = (x_1, x_2, x_3)^t ) tal que
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}.$$

Podem resoldre el problema pel mètode de Gauss, però és més senzill utilitzar l’apartat anterior:
$$A x = v \Rightarrow x = A^{-1} v \Rightarrow x = B v \Rightarrow \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \\ 18 \end{pmatrix}.$$

c) Amb el valor de $x$ de l’apartat anterior, calcula $y$ tal que $B^2 y = x$.

De nou, és més senzill utilitzar els apartats anteriors:
$$B^2 y = x \Rightarrow A \cdot B^2 y = A x \Rightarrow I \cdot B y = v \Rightarrow B y = v \Rightarrow y = A v \Rightarrow \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}.$$