Anàlisi de l’Energia de Lligam i Estabilitat Nuclear: Fissió, Fussió i Desintegració del Polònia 218

a) Representació gràfica de l’energia d’enllaç per nucleó en funció del nombre màssic i justificació dels processos de fusió i fissió nuclear

Gràficament: L’energia d’enllaç per nucleó $E\_b/A$ es representa a l’eix Y en funció del nombre màssic $A$ a l’eix X. La corba típica té les següents característiques:

• Baixa per a nuclis lleugers $A < 20$: L’energia d’enllaç per nucleó és petita (al voltant de 6-7 MeV).

• Augmenta ràpidament fins a un màxim al voltant de A ≈ 56 (ferro-56), on $E\_b/A\approx 8.8$ MeV, indicant màxima estabilitat.

• Disminueix lentament per a nuclis pesants (A > 100), amb $E\_b/A$ ≈ 7.5-8 MeV.

Justificació dels processos:

1. Fusió nuclear: En nuclis lleugers (per exemple, hidrogen fusionant-se per formar heli), la unió de dos nuclis petits produeix un nucli amb més energia d’enllaç per nucleó. Això allibera energia, ja que el nucli resultant és més estable (més a prop del màxim de la corba). Exemple: \[ ^2_1H + ^2_1H \rightarrow ^4_2He + \text{energia} \]

2. Fissió nuclear: En nuclis pesants (per exemple, urani-235), la divisió en dos nuclis de massa intermèdia (més propers a A ≈ 56) resulta en nuclis amb més energia d’enllaç per nucleó. La diferència d’energia es libera. Exemple: ²³⁵U → ¹⁴¹Ba + ⁹²Kr + neutrons + energia. La corba explica per què la fusió es produeix en nuclis lleugers i la fissió en nuclis pesants: ambdós processos busquen apropar-se al màxim d’estabilitat (A ≈ 56).

b) Desintegració nuclear del ²¹⁸₈₄Po i) Reacció nuclear. El nucli de ²¹⁸₈₄Po emet una partícula alfa (⁴₂He) i dues partícules beta (⁰₋₁β) successivament.

A continuació, escric el text amb les equacions ben formatades en LaTeX, mantenint l’estructura i el contingut originals, però corregint petits errors de notació (com la variable (Y) i (Z) que no són necessàries) i assegurant consistència en el format:

Escrivim la reacció pas a pas:

1. Emissió alfa:
   $$^{218}_{84}\text{Po} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{214}_{82}\text{Pb}$$ El nucli fill té $A = 218 – 4 = 214$ i $Z = 84 – 2 = 82$ (plom, Pb). Així: $$^{218}_{84}\text{Po} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{214}_{82}\text{Pb}$$
2. Primera emissió beta ($^{0}{-1}\beta$, electró):
   En la desintegració beta negativa, un neutró es converteix en un protó, augmentant $Z$ en 1 i mantenint $A$:
   $$^{214}_{82}\text{Pb} \rightarrow ^{0}_{-1}\beta + ^{214}_{83}\text{Bi}$$
   El nucli fill té $Z = 82 + 1 = 83$ (bismut, Bi):
   $$^{214}_{82}\text{Pb} \rightarrow ^{0}_{-1}\beta + ^{214}_{83}\text{Bi}$$
3. Segona emissió beta:
   $$^{214}_{83}\text{Bi} \rightarrow ^{0}_{-1}\beta + ^{214}_{84}\text{Po} ] El nucli fill té $Z = 83 + 1 = 84$ (poloni, Po): $$^{214}_{83}\text{Bi} \rightarrow ^{0}_{-1}\beta + ^{214}_{84}\text{Po}$$

Reacció completa:
$$^{218}_{84}\text{Po} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + 2\,^{0}_{-1}\beta + ^{214}_{84}\text{Po}$$

El nucli final és $^{214}_{84}\text{Po}$, amb una massa donada de 213.995201 u.

ii) Estabilitat del ²¹⁸₈₄Po respecte al ²¹⁴₈₄Po

Per determinar quin isòtop és més estable, calculem l’energia d’enllaç per nucleó de cada nucli. Un nucli amb més energia d’enllaç per nucleó és més estable.

Dades proporcionades:

• Massa de ²¹⁸₈₄Po: 218.009007 u

• Massa de ²¹⁴₈₄Po: 213.995201 u* Massa del protó (m\_p): 1.007276 u

• Massa del neutrò $m\_n$: 1.008665 u

• 1 u = 1.67 × 10⁻²⁷ kg

• c = 3 × 10⁸ m/s

Pas 1: Energia d’enllaç del ²¹⁸₈₄Po

• Nombre de protons $Z$ = 84, neutrons $N$ = 218 – 84 = 134, A = 218.

• Massa teòrica (sense interacció nuclear): $$ m_{\text{teòrica}} = Z \cdot m_p + N \cdot m_n = 84 \cdot 1.007276 + 134 \cdot 1.008665 $$ $$ m_{\text{teòrica}} = 84.611184 + 135.161110 = 219.772294 \, \text{u} $$

• Defecte de massa: $$ \Delta m = m_{\text{teòrica}} – m_{\text{real}} = 219.772294 – 218.009007 = 1.763287 \, \text{u} $$

• Energia d’enllaç (E\_b): $$ E_b = (\Delta m) \cdot 931.494 \, \text{MeV/u} = 1.763287 \cdot 931.494 = 1642.632 \, \text{MeV} $$

• Energia d’enllaç per nucleó: $$ E_b/A = \frac{1642.632}{218} \approx 7.535 \, \text{MeV/nucleó} $$

Pas 2: Energia d’enllaç del ²¹⁴₈₄Po

• Nombre de protons (Z) = 84, neutrons (N) = 214 – 84 = 130, A = 214.

• Massa teòrica: $$ m_{\text{teòrica}} = 84 \cdot 1.007276 + 130 \cdot 1.008665 $$ $$ m_{\text{teòrica}} = 84.611184 + 131.126450 = 215.737634 \, \text{u} $$*

Defecte de massa: $$ \Delta m = 215.737634 – 213.995201 = 1.742433 \, \text{u} $$

Energia d’enllaç: $$ E_b = 1.742433 \cdot 931.494 = 1622.767 \, \text{MeV} $$

Energia d’enllaç per nucleó: $$ E_b/A = \frac{1622.767}{214} \approx 7.583 \, \text{MeV/nucleó} $$

Comparació:

• \(^{218}_{84}\text{Po}\): $7{,}535 \, \text{MeV/nucleó}$

• \(^{218}_{84}\text{Po}\): $7{,}583 \, \text{MeV/nucleó}$

El nucli $^{214}{84}\text{Po}$ té una major energia d’enllaç per nucleó, la qual cosa indica que és més estable que el $^{218}{84}\text{Po}$. Això és coherent amb el fet que el $^{218}{84}\text{Po}$ es desintegra espontàniament cap al $^{214}{84}\text{Po}$, un procés que ocorre perquè el nucli fill és més estable.

Conclusió: L’isòtop $^{214}_{84}\text{Po}$ és més estable degut a la seva major energia d’enllaç per nucleó ($7.583$ MeV enfront de $7.535$ MeV).