Anàlisi de la Velocitat i Acceleració d’una Partícula en Moviment

Un observador inercial descriu la trajectòria d’una partícula amb el vector posició $r(t) = (4t^2 − 2t)i − 4t^3j + 7k$ (en unitats SI). Determineu la velocitat i l’acceleració instantànies de la partícula als instants $t = 0$ s i $t = 1$ s. Quant valen la velocitat i l’acceleració mitjanes entre aquests dos instants?

Les equacions del vector posició són:

• $x(t) = 4t^2 – 2t$
• $y(t) = -4t^3$
• $z(t) = 7$

1. Velocitat instantània

La velocitat instantània es calcula com la derivada del vector posició respecte al temps:
$$\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = \left( \frac{dx}{dt} \right)\mathbf{i} + \left( \frac{dy}{dt} \right)\mathbf{j} + \left( \frac{dz}{dt} \right)\mathbf{k}$$

Derivem cada component:

• $\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 – 2t) = 8t – 2$
• $\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(-4t^3) = -12t^2$
• $\frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}(7) = 0$

Així, el vector velocitat és:
$$\mathbf{v}(t) = (8t – 2)\mathbf{i} – 12t^2\mathbf{j}$$

• A $t = 0$ s:
  $$\mathbf{v}(0) = (8 \cdot 0 – 2)\mathbf{i} – 12 \cdot 0^2\mathbf{j} = -2\mathbf{i}$$
  Velocitat instantània a $t = 0$ s: $\mathbf{v}(0) = -2\mathbf{i} \, \text{m/s}$
• A $t = 1$ s:
  $$\mathbf{v}(1) = (8 \cdot 1 – 2)\mathbf{i} – 12 \cdot 1^2\mathbf{j} = 6\mathbf{i} – 12\mathbf{j}$$
  Velocitat instantània a $t = 1$ s: $\mathbf{v}(1) = 6\mathbf{i} – 12\mathbf{j} \, \text{m/s}$

2. Acceleració instantània

L’acceleració instantània es calcula com la derivada del vector velocitat respecte al temps:
$$\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = \left( \frac{d}{dt}(8t – 2) \right)\mathbf{i} + \left( \frac{d}{dt}(-12t^2) \right)\mathbf{j}$$

Derivem cada component:

• $\frac{d}{dt}(8t – 2) = 8$
• $\frac{d}{dt}(-12t^2) = -24t$
• La component $z$ és zero, ja que $v_z = 0$.

Així, el vector acceleració és:
$$\mathbf{a}(t) = 8\mathbf{i} – 24t\mathbf{j}$$

• A t = 0 s:
  $$\mathbf{a}(0) = 8\mathbf{i} – 24 \cdot 0\mathbf{j} = 8\mathbf{i}$$
  Acceleració instantània a t = 0 s: $\mathbf{a}(0) = 8\mathbf{i} \, \text{m/s}^2$
• A t = 1 s:
  $$\mathbf{a}(1) = 8\mathbf{i} – 24 \cdot 1\mathbf{j} = 8\mathbf{i} – 24\mathbf{j}$$
  Acceleració instantània a t = 1 s: $\mathbf{a}(1) = 8\mathbf{i} – 24\mathbf{j} \, \text{m/s}^2$

3. Velocitat mitjana

La velocitat mitjana es calcula com:
$$\mathbf{v}_{\text{mitjana}} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} = \frac{\mathbf{r}(1) – \mathbf{r}(0)}{1 – 0}$$

Calculem les posicions:

• A $t = 0$:
  $$\mathbf{r}(0) = (4 \cdot 0^2 – 2 \cdot 0)\mathbf{i} – 4 \cdot 0^3\mathbf{j} + 7\mathbf{k} = 7\mathbf{k}$$
• A $t = 1$:
  $$\mathbf{r}(1) = (4 \cdot 1^2 – 2 \cdot 1)\mathbf{i} – 4 \cdot 1^3\mathbf{j} + 7\mathbf{k} = (4 – 2)\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 7\mathbf{k} = 2\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 7\mathbf{k}$$

Diferència de posició:
$$\mathbf{r}(1) – \mathbf{r}(0) = (2\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 7\mathbf{k}) – 7\mathbf{k} = 2\mathbf{i} – 4\mathbf{j}$$

Velocitat mitjana:
$$\mathbf{v}_{\text{mitjana}} = \frac{2\mathbf{i} – 4\mathbf{j}}{1} = 2\mathbf{i} – 4\mathbf{j} \, \text{m/s}$$

4. Acceleració mitjana

L’acceleració mitjana es calcula com:
$$\mathbf{a}_{\text{mitjana}} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac{\mathbf{v}(1) – \mathbf{v}(0)}{1 – 0}$$

Calculem la diferència de velocitats:
$$\mathbf{v}(1) – \mathbf{v}(0) = (6\mathbf{i} – 12\mathbf{j}) – (-2\mathbf{i}) = 6\mathbf{i} – 12\mathbf{j} + 2\mathbf{i} = 8\mathbf{i} – 12\mathbf{j}$$

Acceleració mitjana:
$$\mathbf{a}_{\text{mitjana}} = \frac{8\mathbf{i} – 12\mathbf{j}}{1} = 8\mathbf{i} – 12\mathbf{j} \, \text{m/s}^2$$

Resum de respostes

• Velocitat instantània:
• A $t = 0 \, \text{s} ): ( \mathbf{v}(0) = -2\mathbf{i} \, \text{m/s}$
• A $t = 1 \, \text{s} ): ( \mathbf{v}(1) = 6\mathbf{i} – 12\mathbf{j} \, \text{m/s}$
• Acceleració instantània:
• A $t = 0 \, \text{s}$: $\mathbf{a}(0) = 8\mathbf{i} \, \text{m/s}^2$
• A $t = 1 \, \text{s}$: $\mathbf{a}(1) = 8\mathbf{i} – 24\mathbf{j} \, \text{m/s}^2$
• Velocitat mitjana (entre $t = 0 \, \text{s}$ i $t = 1 \, \text{s}$): $\mathbf{v}_{\text{mitjana}} = 2\mathbf{i} – 4\mathbf{j} \, \text{m/s}$
• Acceleració mitjana (entre $t = 0 \, \text{s}$ i $t = 1 \, \text{s}$): $\mathbf{a}_{\text{mitjana}} = 8\mathbf{i} – 12\mathbf{j} \, \text{m/s}^2$