Anàlisi de la Matriu A i la seva inversa

Matriu donada: $$A = \begin{pmatrix}\alpha & -1 & -1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ \alpha – 2 & 2 & 2\end{pmatrix}$$

(a) Trobar els valors de $\alpha$ per als quals la matriu $A$ no és invertible

Una matriu no és invertible si el seu determinant és zero ($\det(A) = 0$). Calculem el determinant de $A$ (3×3) utilitzant la regla de Sarrus o l’expansió per files/columnes:

$$\det(A) = \alpha \cdot (\alpha \cdot 2 – 1 \cdot 2) – (-1) \cdot (1 \cdot 2 – 1 \cdot (\alpha – 2)) + (-1) \cdot (1 \cdot 2 – \alpha \cdot (\alpha – 2))$$

Desenvolupem cada terme:

• Primer terme: $\alpha \cdot (\alpha \cdot 2 – 1 \cdot 2) = \alpha \cdot (2\alpha – 2) = 2\alpha^2 – 2\alpha$
• Segon terme: $-(-1) \cdot (1 \cdot 2 – 1 \cdot (\alpha – 2)) = 1 \cdot (2 – (\alpha – 2)) = 2 – \alpha + 2 = 4 – \alpha$
• Tercer terme: $-1 \cdot (1 \cdot 2 – \alpha \cdot (\alpha – 2)) = -(2 – \alpha(\alpha – 2)) = -(2 – \alpha^2 + 2\alpha) = -2 + \alpha^2 – 2\alpha$

Ara sumem:
$$\det(A) = (2\alpha^2 – 2\alpha) + (4 – \alpha) + (-2 + \alpha^2 – 2\alpha)$$
$$= 2\alpha^2 – 2\alpha + 4 – \alpha – 2 + \alpha^2 – 2\alpha$$
$$= (2\alpha^2 + \alpha^2) + (-2\alpha – \alpha – 2\alpha) + (4 – 2)$$
$$= 3\alpha^2 – 5\alpha + 2$$

Per tant, el determinant és:
$$\det(A) = 3\alpha^2 – 5\alpha + 2$$

Perquè $A$ no sigui invertible, $\det(A) = 0$:
$$3\alpha^2 – 5\alpha + 2 = 0$$

Resolem aquesta equació quadràtica utilitzant la fórmula del discriminant:

• $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$
• Discriminant: $\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 – 24 = 1$

Les arrels són:
$$\alpha = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}$$

• $\alpha_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
• $\alpha_2 = \frac{5 – 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Resposta (a): La matriu $A$ no és invertible per $\alpha = 1$ o $\alpha = \frac{2}{3}$.

(b) Calcular $A^{-1}$ per $\alpha = 2$

Comprovem primer si $A$ és invertible per $\alpha = 2$. Substituïm $\alpha = 2$ al determinant:
$$\det(A) = 3(2)^2 – 5(2) + 2 = 3 \cdot 4 – 10 + 2 = 12 – 10 + 2 = 4$$
Com $\det(A) = 4 \neq 0$, la matriu és invertible.

Ara calculem $A^{-1}$ utilitzant la fórmula:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$$
on $\text{adj}(A)$ és la matriu adjunta (transposada de la matriu de cofactors).

Matriu amb $\alpha = 2$:

$$A = \begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 2
\end{pmatrix}$$

Cofactors:

• $C_{11} = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = (2 \cdot 2 – 1 \cdot 2) = 4 – 2 = 2$
• $C_{12} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = -(1 \cdot 2 – 1 \cdot 0) = -2$
• $C_{13} = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = (1 \cdot 2 – 2 \cdot 0) = 2$
• $C_{21} = -\det\begin{pmatrix} -1 & -10 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = -((-1 \cdot 2) – (-1 \cdot 2)) = -(-2 + 2) = 0$
• $C_{22} = \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = (2 \cdot 2 – (-1) \cdot 0) = 4$
• $C_{23} = -\det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = -(4) = -4$
• $C_{31} = \det\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = ((-1) \cdot 1 – (-1) \cdot 2) = -1 + 2 = 1$
• $C_{32} = -\det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -(2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1) = -(2 + 1) = -3$
• $C_{33} = \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = (2 \cdot 2 – (-1) \cdot 1) = 4 + 1 = 5$

Matriu de cofactors:

$$\begin{pmatrix}
2 & -2 & 2 \\
0 & 4 & -4 \\
1 & -3 & 5
\end{pmatrix}$$

Matriu adjunta ($\text{adj}(A)$): transposada dels cofactors:

$$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
-2 & 4 & -3 \\
2 & -4 & 5
\end{pmatrix}$$

$A^{-1}$:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
-2 & 4 & -3 \\
2 & -4 & 5
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{2}{4} & 0 & \frac{1}{4} \\
\frac{-2}{4} & \frac{4}{4} & \frac{-3}{4} \\
\frac{2}{4} & \frac{-4}{4} & \frac{5}{4}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0.5 & 0 & 0.25 \\
-0.5 & 1 & -0.75 \\
0.5 & -1 & 1.25
\end{pmatrix}$$

Resposta (b): Per $\alpha = 2$, la matriu inversa és:
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
0.5 & 0 & 0.25 \
-0.5 & 1 & -0.75 \
0.5 & -1 & 1.25
\end{pmatrix}$$

(Nota: Es pot verificar multiplicant $A \cdot A^{-1}$ per assegurar que doni la matriu identitat.)