Anàlisi de la Coplanaritat de Rectes i Càlcul de la Distància a un pla

Considereu les rectes $r$ i $s$ definides per: $$r: \frac{x – 1}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$$ $$s: \begin{cases}x + 2z = 1 \\ y = 0\end{cases}$$ a) Comproveu que les rectes són coplanàries (és a dir, estan contingudes en un mateix pla) i calculeu l’equació del pla que les conté. b) Calculeu la distància de la recta $r$ al pla $\pi: x – y + 2z = 3$.

a) El vector director de $r$ és $\vec{v} = (-1, 1, 1)$ i el vector director de $s$ és:

$$\vec{w} = (1, 0, 2) \times (0, 1, 0) = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{vmatrix} = -2\vec{i} + \vec{k} = (-2, 0, 1).$$

Com que els vectors $\vec{v}$ i $\vec{w}$ no són proporcionals, ja sabem que les rectes no són paral·leles ni coincidents. Per tant, les rectes seran coplanàries si, i només si, s’intersequen en un punt. En aquest cas, a partir de l’equació contínua de $r$, és molt fàcil identificar el punt $P(1, 0, 0)$ com a punt de $r$ i comprovar que aquest mateix punt pertany a la recta $s$, ja que compleix l’equació implícita de $s$: $x + 2z = 1 + 0 = 1$, $y = 0$. Per tant, $r$ i $s$ s’intersequen en el punt $P$ i són rectes coplanàries.

Per calcular l’equació del pla que les conté, n’hi ha prou amb prendre com a punt del pla el mateix $P(1, 0, 0)$ i com a vectors directors del pla els vectors $\vec{v} = (-1, 1, 1)$ i $\vec{w} = (-2, 0, 1)$. Per tant, l’equació general del pla que les conté és:

$$\begin{vmatrix}
x – 1 & y & z \\
-1 & 1 & 1 \\
-2 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 0 \iff (x – 1) – 2y + 2z + y = 0 \iff x – y + 2z = 1.$$

Observació: Una altra manera de comprovar que les rectes són coplanàries és verificar que el rang de ${\vec{v}, \vec{w}, \overrightarrow{PQ}}$ és $2$, on $P$ i $Q$ són dos punts qualsevol de les rectes $r$ i $s$, respectivament.

b) Sabem que el vector director de $r$ és $\vec{v} = (-1, 1, 1)$ i el vector normal del pla $\pi$ és $\vec{n} = (1, -1, 2)$. En primer lloc, observem que:

$$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -1 – 1 + 2 = 0.$$

Per tant, o bé la recta $r$ és paral·lela al pla $\pi$, o bé està continguda en el pla $\pi$. En qualsevol dels dos casos, la distància de $r$ a $\pi$ es pot calcular directament com la distància d’un punt qualsevol de $r$ a $\pi$. Prenem com a punt el mateix $P(1, 0, 0)$ i tenim:

$$d(r, \pi) = d(P, \pi) = \frac{|1 \cdot 1 – 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 – 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ unitats de distància.}$$