Anàlisi de la Continuïtat i Derivabilitat d’una Funció en un punt

Considereu la funció $f(x)$ definida per: $$f(x) =\begin{cases}\frac{\ln x}{x – 1} & \text{si } x > 0 \text{ i } x \neq 1 \\ a & \text{si } x = 1\end{cases}$$

a) Calculeu el límit de $f(x)$ quan $x$ tendeix a $+\infty$.

b) Determineu el valor de $a$ perquè la funció $f(x)$ sigui contínua a $x = 1$.

c) Estudieu si, per a aquest valor de $a$, la funció $f(x)$ és derivable a $x = 1$. En cas afirmatiu, calculeu el valor de la derivada de $f$ a $x = 1$.

a)
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x – 1} = \frac{+\infty}{+\infty}.$$
Podem resoldre aquesta indeterminació aplicant la regla de L’Hôpital i s’obté:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x – 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = \frac{1}{+\infty} = 0.$$

b) Atès que existeix $f(1) = a$, perquè $f(x)$ sigui contínua a $x = 1$, també ha d’existir el límit $\lim_{x \to 1} f(x)$ i aquest ha de ser igual a $f(1) = a$. Anem, doncs, a calcular aquest límit:
$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x – 1} = \frac{\ln(1)}{1 – 1} = \frac{0}{0}.$$
Per resoldre aquesta indeterminació, podem aplicar de nou la regla de L’Hôpital i s’obté:
$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x – 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1.$$
Per tant, perquè $f(x)$ sigui contínua a $x = 1$, ha de ser $a = 1$.

c) Un cop sabem que la funció és contínua per a $a = 1$, per estudiar si la funció és derivable a $x = 1$, una primera alternativa és aplicar la definició de derivada en un punt i estudiar si existeix el següent límit:
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) – f(1)}{x – 1},$$
i, en cas que existeixi, aquest límit serà el valor de la derivada a $x = 1$.

Per fer-ho, operem primer de la següent manera (amb $x \neq 1$):
$$\frac{f(x) – f(1)}{x – 1} = \frac{\frac{\ln x}{x – 1} – 1}{x – 1} = \frac{\ln x – (x – 1)}{x – 1} \cdot \frac{1}{x – 1} = \frac{\ln x – x + 1}{(x – 1)^2},$$
de manera que:
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) – f(1)}{x – 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x – x + 1}{(x – 1)^2} = \frac{\ln(1) – 1 + 1}{(1 – 1)^2} = \frac{0 – 1 + 1}{0} = \frac{0}{0}.$$
Per resoldre aquesta indeterminació, podem aplicar de nou la regla de L’Hôpital, de manera que:
$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x – x + 1}{(x – 1)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} – 1}{2(x – 1)}.$$
Operant algebraicamente aquesta fracció, s’obté:
$$\frac{\frac{1}{x} – 1}{2(x – 1)} = \frac{\frac{1 – x}{x}}{2(x – 1)} = \frac{-(x – 1)}{2x(x – 1)} = \frac{-1}{2x}.$$
Per tant:
$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x – x + 1}{(x – 1)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} – 1}{2(x – 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{-1}{2x} = -\frac{1}{2}.$$
En conclusió, hem comprovat que la funció $f(x)$ sí que és derivable a $x = 1$, ja que existeix el límit:
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) – f(1)}{x – 1} = -\frac{1}{2},$$
i aquest valor és precisament el valor de la derivada de $f(x)$ a $x = 1$,
$$f'(1) = -\frac{1}{2}.$$

El següent raonament alternatiu per respondre a l’apartat c) també és correcte i, possiblement, està més estès entre l’alumnat de Batxillerat. El raonament es basa en el següent resultat que, al seu torn, és conseqüència del teorema del valor mitjà de Lagrange (o, si es prefereix, de la regla de L’Hôpital):

Sia $f : (a, b) \to \mathbb{R}$ una funció contínua a $(a, b)$ i derivable a $(a, b) \setminus {x_0}$ per a un cert punt $x_0 \in (a, b)$. Si existeix i és finit el límit de $f'(x)$ quan ($x$ tendeix a $x_0$, aleshores la funció $f(x)$ és derivable a $x_0$ i es compleix que:
$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} f'(x).$$
A més, com a conseqüència d’això, la funció derivada $f'(x)$ també és contínua a $x_0$.

En el nostre cas, sabem que per a $a = 1$, la funció $f(x)$ és contínua a $(0, +\infty)$. A més, comprovem també que $f(x)$ és derivable al subdomini obert format per ${x \in \mathbb{R} : x > 0, x \neq 1} = (0, 1) \cup (1, +\infty)$, i la seva derivada en aquest subdomini ve donada per:
$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{x – 1} \right) = \frac{\frac{1}{x}(x – 1) – \ln x}{(x – 1)^2} = \frac{x – 1 – x \ln x}{x (x – 1)^2}, \quad \text{si } x > 0 \text{ i } x \neq 1.$$
Calculem a continuació el límit d’aquesta expressió quan $x \to 1$, tenim que (aplicant dues vegades la regla de L’Hôpital):
$$\lim_{x \to 1} f'(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x – 1 – x \ln x}{x (x – 1)^2} = \frac{0}{0} \quad (\text{apliquem la primera vegada L’Hôpital})$$
$$= \lim_{x \to 1} \frac{1 – \ln x – 1}{(x – 1)^2 + 2x(x – 1)} = \frac{0}{0} \quad (\text{apliquem la segona vegada L’Hôpital})$$
$$= \lim_{x \to 1} \frac{-\frac{1}{x}}{2(x – 1) + 2(x – 1) + 2x} = -\frac{1}{2}.$$
Per tant, podem concloure que ( f(x) ) és derivable a $x = 1$ i:
$$f'(1) = -\frac{1}{2}.$$
Observació important: En algunes ocasions, aquest segon mètode no és vàlid i cal recórrer necessàriament a la definició de derivada en un punt (primer raonament). Això passa quan la funció és derivable al punt en qüestió, però la funció derivada no és contínua en aquest punt. Un exemple típic d’aquest cas és la següent funció:
$$f(x) =
\begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{si } x \in \mathbb{R} \text{ i } x \neq 0 \
0 & \text{si } x = 0
\end{cases}$$
Aquesta funció és derivable a tot $\mathbb{R}$, però la funció derivada $f'(x)$ no és contínua a $x = 0$. Per aquest motiu, no es pot aplicar el segon raonament. En efecte, podem veure que existeix:
$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) – f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right)}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin \left( \frac{1}{x} \right) = 0,$$

ja que $x \to 0$ i $\sin \frac{1}{x}$, tot i que és oscil·lant, està acotat en valor absolut per $1$, per la qual cosa el producte $x \sin \frac{1}{x}$ convergeix a $0$. A més, $f'(x)$ per a $x \neq 0$ ve donada per:
$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 \sin \frac{1}{x} \right) = 2x \sin \frac{1}{x} + x^2 \cos \frac{1}{x} \left( -\frac{1}{x^2} \right) = 2x \sin \frac{1}{x} – \cos \frac{1}{x}, \quad \text{si } x \in \mathbb{R} \text{ i } x \neq 0.$$
Si intentem calcular el límit quan $x \to 0$ d’aquesta expressió, tenim:
$$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} \left( 2x \sin \frac{1}{x} – \cos \frac{1}{x} \right) = – \lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x},$$
però aquest límit no existeix perquè és oscil·lant. Per aquest motiu, no es pot aplicar el segon raonament. És clar que som conscients que aquesta explicació excedeix el nivell de l’assignatura de Matemàtiques II de Batxillerat, però aprofitem l’ocasió per aclarir-ho aquí i emfatitzar que, en determinades ocasions, és necessari recórrer a la definició de derivada en un punt per justificar la derivabilitat d’una funció en aquest punt.