Anàlisi de defectes en una empresa amb dues màquines de producció

Una empresa té dues màquines. La primera produeix el 40% de les peces i l’altra, la resta. Sigui:

• $A$: l’esdeveniment “la peça ha estat produïda per la primera màquina”,
• $B$: l’esdeveniment “la peça ha estat produïda per la segona màquina”.

La probabilitat que una peça presenti defectes és de 0,2 si ha estat produïda per la primera màquina, i de 0,1 si ha estat produïda per la segona.

(a) Quina és la probabilitat que una peça surti defectuosa?

(b) Sigui $C$ l’esdeveniment “una mostra de 3 peces de la mateixa màquina conté exactament una defectuosa”.
Sabem que:

• $P(C|A) = 0,616$
• $P(C|B) = 0,243$

Quina és la probabilitat que la mostra hagi estat produïda per la primera màquina, és a dir, $P(A|C)$?

(a) Quina és la probabilitat que una peça surti defectuosa?

Aplicam el teorema de la probabilitat total: $$P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) = (0{,}2)(0{,}4) + (0{,}1)(0{,}6) = 0{,}08 + 0{,}06 = \boxed{0{,}14}$$

(b) Probabilitat que la mostra provingui de la primera màquina, donat que té exactament una peça defectuosa

Definim $C$: “una mostra de 3 peces de la mateixa màquina conté exactament una defectuosa”.

Sabem:

• $P(\bar{C}|A) = 0.616 \Longrightarrow P(C|A)= 1-0.616 = 0{,}384$
• $P(C|B) = 0{,}243$

Volem trobar P(A∣C)P(A|C), que s’obté per la fórmula de Bayes: $$P(A|C) = \frac{P(C|A)P(A)}{P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)} = \frac{(0{,}384)(0{,}4)}{(0{,}384)(0{,}4) + (0{,}243)(0{,}6)}$$ $$= \frac{0{,}1536}{0{,}1536 + 0{,}1458} = \frac{0{,}1536}{0{,}2994} \approx \boxed{0{,}513}$$