Àlgebra de matrius

Àlgebra de matrius
29 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Resoleu el següent sistema matricial $$2A – B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$ $$A + B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Per resoldre el sistema matricial, tenemos dos matrices incògnites, $A$ i $B$, y les equacions matricials següents:

$$2A – B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$
$$A + B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$

A partir d’aquestes equacions, podem expressar $B$ en funció de $A$ i substituir-la en una de les equacions per trobar la matriu $A$.

Pas 1: Expressar $B$ en funció de $A$

De la segona equació:
$$A + B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$
tenim que:
$$B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{pmatrix} – A$$

Pas 2: Substituir $B$ a la primera equació

Substituïm $B$ a la primera equació:
$$2A – \left( \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{pmatrix} – A \right) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$
Simplificant:
$$2A – \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{pmatrix} + A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$
$$3A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$
$$3A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 9 \end{pmatrix}$$

Pas 3: Aïllar $A$

Dividim cada element de la matriu pel factor 3:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

Pas 4: Substituir $A$ per trobar $B$

Ara substituïm $A$ en la segona equació per trobar $B$:
$$B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Resultat

Les matrius $A$ i $B$ que resolen el sistema són:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *